交流② - koganie’s blog

コイルのインダクタンスL[H]のとき、自己誘導起電力は次の式。
$e=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$
電流の変化による磁束の変化を妨げるような起電力。
つまり交流電流を流すと、こいつがなにか作用をするということ。

コイルだけの交流回路を考えたとき
$v+e=0$
より
$v=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

$i=\sqrt{2}I\sin{\omega t}$
を代入すれば、 $t$ で微分して
$v=\sqrt{2}I\omega L\cos{\omega t}$
ということで、電流は電圧より位相が遅れる。

$v$ の実効値 $V$ とすると
$\frac{V}{I}=\omega L$
オームの法則でいう抵抗にあたるものだが、交流におけるコイル・コンデンサに対するこれをリアクタンスという。
$X_L=\omega L$

一方、静電容量 $C$ のコンデンサについても、同じように考えることができて、
$Q=CV_C$
とキルヒホッフの第二法則でコイルと同じように
$v=\frac{Q}{C}$
という式が作れる。
ここで電流は
$i=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$
で表されるので、上式と合わせて微分すると
$i=\frac{\Delta Cv}{\Delta t}=\frac{\Delta \sqrt{2}CV\sin{\omega t}}{\Delta t}=\sqrt{2}\omega CV\cos{\omega t}$
ということで、こちらは電流は電圧よし位相が進む。

同じように実効値を見ると
$\frac{V}{I}=\frac{1}{\omega C}$
なので、コンデンサのリアクタンスは
$X_C=\frac{1}{\omega C}$

では抵抗 $R$ と、コイル、コンデンサが直列につながった回路はどうなるか。
こう、リアクタンスと抵抗とを一緒に考えた抵抗値を、インピーダンスという。
微妙な意味合いの違い、言葉の違い、ややこしい。
$\dot{Z}=R+jX=R+j(X_L-X_C)$
抵抗は実数部、リアクタンスは虚数部を使って表現する。
ベクトル表示においてjを書けることは $\pi/2$ 進め、-j書けることは遅らせることと対応させることができる、ということらしい。

で、インピーダンスの大きさは
$|\dot{Z}|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$
で計算できる。良かったね。

で、ちなみに $X_L-X_C=0$ のとき、直列共振という。そのときの周波数を、直列共振周波数という。リアクタンス成分が0ということである。